题目内容

如图，△ABC是边长为2
3
的等边三角形，p是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则
AP
•
BP
最小值为
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：如图所示，则A(-
3
，-3)，B(
3
，-3)，P（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．则
AP
•
BP
=6sinθ+7，即可得出．
解答： 解：如图所示，
则A(-
3
，-3)，B(
3
，-3)，P（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．
则
AP
•
BP
=(cosθ+
3
，sinθ+3)•(cosθ-
3
，sinθ+3)
=cos2θ-3+（sinθ+3）2
=6sinθ+7≥1，当sinθ=-1时取等号，
故答案为：1．
点评：本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f（
x1+x2
2
）≤
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设，现给出如下命题：
（1）f（x）=
1
x
在[1，3]上具有性质P；
（2）若f（x）在[1，3]上具有性质P，f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
（3）若f（x）在[1，3]上具有性质P，则f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
（4）若f（x）在[1，3]上具有性质P，f（x2）在[1，
3
]上具有性质P；
其中正确的命题是
 
．
如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点
（Ⅰ）求证：平面BC′D∥面AB′D′；
（Ⅱ）求面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值．
某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v（km/h）的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(
v
20
)2km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是
 
h（车身长度不计）．
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠ABC=90°，且PA=AB=BC=
1
2
AD=1．
（1）PB与CD所成的角的大小为
 
；
（2）PD与平面PAC所成角的余弦值为
 
；
（3）二面角B-PC-D的余弦值为
 
．
某单位准备建造一间面积为50m2的背面靠墙的矩形平顶房屋，房屋墙的高度为4m，房屋正面的造价为800元/m2，房屋侧面的造价为600元/m2，屋顶的造价为1000元/m2．若不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使造价最低，最低造价是多少元？（
3
≈1.732，造价精确到1元，长度精确到0.01）
用综合法证明：若a＞0，b＞0，则
a3+b3
2
≥（
a+b
2
）3．
已知
a
=（cosx，-
1
2
），
b
=（sinx+cosx，1），f（x）=
a
•
b
，
（Ⅰ）若0＜α＜
π
2
，sinα=
2
2
，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
设f（x）=ax+b，且
∫
1
-1
[f（x）]2dx=1，求f（a）的取值范围．

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