Question

已知函数f（x）=sinx-

3

cosx的定义域为[a，b]，值域为[-1，

2

]，则b-a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数的值域

专题：三角函数的求值

分析：依题意可求得a-

π

3

≤x≤b-

π

3

，利用正弦函数的性质即可求得答案．

解答： 解：函数f（x）=sinx-

3

cosx=2sin（x-

π

3

），又a≤x≤b，∴a-

π

3

≤x≤b-

π

3

．
又-1≤2sin（x-

π

3

）≤

2

，∴-

1

2

≤sin（x-

π

3

）≤

2

2

．
在正弦函数y=sinx的一个周期内，要满足上式，则-

π

6

≤x-

π

3

≤

3π

4

，
∴（b-a）_max=

3π

4

+

π

6

=

11π

12

，（b-a）_min=

π

4

+

π

6

=

5π

12

，
故b-a的取值范围为[

5π

12

，

11π

12

]，
故答案为：[

5π

12

，

11π

12

]．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查正弦函数的单调性，由-

1

2

≤sin（x-

π

3

）≤

2

2

，探究x-

π

3

的范围是关键，也是难点，考查分析与思维能力，属于难题．