Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x（x-2）．
（Ⅰ）在给定坐标系下画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数解析式的求解及常用方法,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由当x≥0时，f（x）=x（x-2）．函数f（x）是定义在R上的奇函数，结合二次函数的图象和性质及奇函数的图象关于原点对称，可得函数f（x）的图象，结合图象上升对应函数的单调增区间，可得答案；
（Ⅱ）当x＜0时，-x＞0，代入结合f（x）=-f（-x）得到函数f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）∵当x≥0时，f（x）=x（x-2）．函数f（x）是定义在R上的奇函数，
故函数的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：f（x）的单调递增区间是（-∞，-1]和[1，+∞），
（Ⅱ）当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=-x（-x-2）=x²+2x．
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

点评：本题考查的知识点是函数图象的作法，函数解析式的求法，奇函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．