Question

当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：?n∈N^*，e^x-1＞

xn

n!

．（n!=1•2•3•…•（n-1）n）

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：导数的概念及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：构造函数g_n（x）=e^x-1-

xn

n!

，当n=1时，只需证明g₁（x）=e^x-1-x＞0（利用导数法易证）；当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即g_k（x）=e^x-1-

xk

k!

＞0，去证明
当n=k+1时，不等式也成立，从而证得结论成立即可．

解答： 证明：设g_n（x）=e^x-1-

xn

n!

，
当n=1时，只需证明g₁（x）=e^x-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g₁′（x）=e^x-1-1＞0，
所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上是增函数，∴g₁（x）＞g₁（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；
当x∈（1，+∞）时，
假设n=k时不等式成立，即g_k（x）=e^x-1-

xk

k!

＞0，
当n=k+1时，
因为g_k+1′（x）=e^x-1-

(k+1)xk

(k+1)!

=e^x-1-

xk

k!

＞0，
所以g_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．
所以g（x）＞g_k+1（1）=e⁰-

1

(k+1)!

=1-

1

(k+1)!

＞0，
即当n=k+1时，不等式成立．
由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，?n∈N^*，e^x-1-

xn

n!

．

点评：本题考查数学归纳法的应用，考查构造函数思想与导数法判断函数的单调性质的综合应用，考察推理证明能力，属于难题．