Question

已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式．
（2）若y=log_a[f（x）-ax]（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：幂函数的性质,函数单调性的性质

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）为偶函数，且f（3）＜f（5），求出m的值即可；
（2）求出函数y的解析式，讨论a的值，求出函数y在区间[2，3]上为增函数时a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5），
∴-2m²+m+3＞0，
即2m²-m-3＜0，
解得-1＜m＜

3

2

；
当m=0时，-2m²+m+3=3，不满足题意；
当m=1时，-2m²+m+3=2，满足题意；
∴m=1时，f（x）=x²；
（2）∵y=log_a[f（x）-ax]
=log_a（x²-ax）
=log_a[(x-

a

2

)2-

a2

4

]，其中a＞0，且a≠1；
∴当0＜a＜1时，0＜

a

2

＜

1

2

，函数t=(x-

a

2

)2-

a2

4

在（-∞，

a

2

）是减函数，
对应函数y在（-∞，0）上是增函数，不满足题意；
当a＞1时，

a

2

＞

1

2

，函数t=(x-

a

2

)2-

a2

4

在（

a

2

，+∞）上是增函数，
又x²-ax＞0，得x＞a，函数y在（a，+∞）上是增函数，
∴

a＞2 a 2 ≥2

，解得a≥4；
∴函数y在区间[2，3]上为增函数时，实数a的取值范围是[4，+∞）．

点评：本题考查了求幂函数的解析式的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题与函数单调性的应用问题，是综合性题目．