题目内容
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知（2a+b）cosC+ccosB=0．
（1）求∠C的大小；
（2）若c=4，求使△ABC面积得最大值时a，b的值．
（1）求∠C的大小；
（2）若c=4，求使△ABC面积得最大值时a，b的值．
考点：余弦定理的应用
专题：解三角形
分析：（1）直接利用正弦定理化简已知条件，得到C的余弦函数值，然后求∠C的大小；
（2）通过余弦定理以及基本不等式求出ab的最大值，然后求出面积的最大值．即可求解a，b的值．
（2）通过余弦定理以及基本不等式求出ab的最大值，然后求出面积的最大值．即可求解a，b的值．
解答：
解：（1）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，（2a+b）cosC+ccosB=0，
由正弦定理可得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，
即2sinAcosC+sin（B+C）=0，∵sinA=sin（B+C）≠0
∴2cosC=-1，∴C=120°．
（2）∵c2=a2+b2-2abcosC，∴16=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时等号成立．
∴ab≤
，
∴S△ABC=
absinC≤
，
当且仅当a=b=
时取等号．
△ABC面积得最大值时a=b=
．
由正弦定理可得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，
即2sinAcosC+sin（B+C）=0，∵sinA=sin（B+C）≠0
∴2cosC=-1，∴C=120°．
（2）∵c2=a2+b2-2abcosC，∴16=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时等号成立．
∴ab≤
| 16 |
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
4
| ||
| 3 |
当且仅当a=b=
4
| ||
| 3 |
△ABC面积得最大值时a=b=
4
| ||
| 3 |
点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角形的面积的求法，考查计算能力．
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