Question

设函数f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，对任意的正数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y）成立，且f（3）=1，求满足f（x）＞f（x-1）+2的x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由于f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），则f（9）=2，原不等式即f（x）＞f[9（x-1）]由单调性得，

x＞0 x-1＞0 x＞9(x-1)

，解出不等式组，即可得到解集．

解答： 解：由于f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
则f（9）=f（3）+f（3）=2，
即不等式f（x）＞f（x-1）+2即为f（x）＞f（x-1）+f（9），
则有f（x）＞f[9（x-1）]
由于函数在定义域（0，+∞）上为增函数，
则

x＞0 x-1＞0 x＞9(x-1)

，解得 1＜x＜

9

8

，
故所求x的取值范围为（1，

9

8

）．

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，注意函数的定义域，考查不等式的解法，属于中档题．