Question

4．已知|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2，∠AOB=150°，点C在∠AOB的内部且∠AOC=30°，设$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，则$\frac{m}{n}$=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 可画出图形，由$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$可得到$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}=m{\overrightarrow{OA}}^{2}+n\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}\\{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+n{\overrightarrow{OB}}^{2}}\end{array}\right.$，根据条件进行数量积的运算便可得到$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{OC}|•\frac{\sqrt{3}}{2}=m-\sqrt{3}n}&{①}\\{-|\overrightarrow{OC}|=-\sqrt{3}m+4n}&{②}\end{array}\right.$，从而$\frac{①}{②}$便可得出关于m，n的等式，从而可以求出$\frac{m}{n}$．

解答 解：如图，

由$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$的两边分别乘以$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$得：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}=m{\overrightarrow{OA}}^{2}+n\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}\\{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+n{\overrightarrow{OB}}^{2}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{OC}|•\frac{\sqrt{3}}{2}=m-\sqrt{3}n}&{①}\\{-|\overrightarrow{OC}|=-\sqrt{3}m+4n}&{②}\end{array}\right.$；
∴$\frac{①}{②}$得：$\frac{m-\sqrt{3}n}{-\sqrt{3}m+4n}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$m=2\sqrt{3}n$；
∴$\frac{m}{n}=2\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 考查向量夹角的概念，向量的数量积的运算及其计算公式．