Question

13．已知△ABC的面积为S，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=S$．
（1）求sinA，cosA，tan2A的值；
（2）若$B=\frac{π}{4}，\;\;|{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}}|=6$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）把S=$\frac{1}{2}bcsinA$代入$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=S$，解出A，
（2）c=|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$|=6，求出sinC，使用正弦定理求出b，代入面积公式．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=S$，∴b•c•cosA=$\frac{1}{2}$bcsinA，∴tanA=2，A∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∵sin²A+cos²A=1，∴sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，tan2A=$\frac{2tanA}{1-ta{n}^{2}A}$=$-\frac{4}{3}$．
（2）|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$|=6，即c=6．sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，∴b=$\frac{c•sinB}{sinC}$=2$\sqrt{5}$．
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×6×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=12．

点评 本题考查了平面向量在解三角形中的应用，属于中档题．