Question

16．已知点O为△ABC内一点，满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，若$∠AOC=\frac{5π}{6}，∠BOC=\frac{3π}{4}，OA=4$，则OB=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以O为原点，建立平面直角坐标系，设OB=x，OC=y，求出$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$的坐标，代入$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$列出方程组解出．

解答 解：以OA为x轴，O为原点建立平面直角坐标系，如图，则∠AOB=$\frac{5π}{12}$，设OB=x，OC=y，则B（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x，-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}x$），
C（-$\frac{\sqrt{3}}{2}y$，$\frac{1}{2}y$），A（4，0）．∴$\overrightarrow{OA}$=（4，0），$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x，-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}x$），$\overrightarrow{OC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}y$，$\frac{1}{2}y$）．
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，∴$\left\{\begin{array}{l}{4+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}x-\frac{3\sqrt{3}}{2}y=0}\\{-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}x+\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，解得x=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，建立坐标系求出向量坐标是解题关键．