Question

14．如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA′=2，BC=AC=1，D，E分别是CC′、A′B的中点．
（1）求异面直线CE与BD所成角的余弦值；
（2）在CC′上是否存在一点P，使得PE⊥平面ABD？若存在，请求出CP的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以{$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{C{C}^{'}}$}为单位正交基底建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出异面直线CE与BD所成角的余弦值．
（2）假设存在满足题意的点P，设P（0，0，t），求出平面ABD的法向量，利用向量法能求出在CC′上存在一点P，使得PE⊥平面ABD，并能求出此时CP的值．

解答 解：（1）以{$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{C{C}^{'}}$}为单位正交基底建立空间直角坐标系C-xyz，
由已知得C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），A′（1，0，2），
$\overrightarrow{BD}$=（0，-1，1），E（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1$），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1$），
cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴异面直线CE与BD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（2）假设存在满足题意的点P，设P（0，0，t），
则$\overrightarrow{PE}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1-t$），$\overrightarrow{AB}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，1），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，
不妨令x=1，可得平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
若PE⊥平面ABD，则$\overrightarrow{PE}$∥$\overrightarrow{m}$，即$\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1-t}{1}$，解得t=$\frac{1}{2}$，故CP=$\frac{1}{2}$．
所以，在CC′上存在一点P，使得PE⊥平面ABD，此时CP=$\frac{1}{2}$．…（10分）

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查满足条件的点的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．