Question

3．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e有且只有一个零点，则k=$\frac{1}{e}$+e²．

Answer 1

分析 可化为k=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex有且只有一个解，再令g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，求导g′（x）=$\frac{（1-lnx）+2{x}^{2}（e-x）}{{x}^{2}}$，从而判断函数的单调性及最值，从而解得．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e有且只有一个零点，
∴方程$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e=0有且只有一个解，
∴$\frac{lnx}{x}$-x²-k+2ex=0有且只有一个解，
即k=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex有且只有一个解，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，
g′（x）=$\frac{（1-lnx）+2{x}^{2}（e-x）}{{x}^{2}}$，
故当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0；
故g（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数；
而g（e）=$\frac{1}{e}$-e²+2e²=$\frac{1}{e}$+e²，
故k=$\frac{1}{e}$+e²，
故答案为：$\frac{1}{e}$+e²．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及导数的综合应用．