题目内容

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
π
2
，且图象上一个最高点M（
π
6
，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）由题意得f（x）的最小正周期T=π，有ω=
2π
T
=
2π
π
=2，又由M（
π
6
，2）是最高点，得A=2，且当x=
π
6
时，f（x）有最大值．可得sin（2×
π
6
+φ）=sin（
π
3
+φ）=1，解得φ=
π
6
+2kπ，k∈Z．又由0＜φ＜
π
2
，可得φ=
π
6
．从而可求得f（x）=2sin（2x+
π
6
）．
（2）令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，k∈Z，得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z；令
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ，k∈Z，得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，k∈Z，即可求出f（x）的单调区间．
解答： 解：（1）由题意得f（x）的最小正周期T=π，
∴ω=
2π
T
=
2π
π
=2．
又由M（
π
6
，2）是最高点，得A=2，
且当x=
π
6
时，f（x）有最大值．
∴sin（2×
π
6
+φ）=sin（
π
3
+φ）=1，
∴
π
3
+φ=
π
2
+2kπ，k∈Z，
即φ=
π
6
+2kπ，k∈Z．
又∵0＜φ＜
π
2
，∴φ=
π
6
．
∴f（x）=2sin（2x+
π
6
）．
（2）令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，k∈Z，得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z；
令
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ，k∈Z，得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，k∈Z；
所以f（x）在[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]（k∈Z）上单调递增，在[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）上单调递减．
点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
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已知椭圆C1：
x2
a
+
y2
9
=1与抛物线C2：y=x2-b
（1）若抛物线C2经过椭圆C1的焦点，且两曲线恰有三个不同的交点，求椭圆C1与抛物线C2的方程；
（2）当实数a，b满足什么关系式，椭圆C1与抛物线C2有四个不同的交点？并证明这四个交点共圆．
“非p为假命”是“p且q是真命题”的（　　）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也木必要条件
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：AD⊥平面PDC
（3）证明：DE⊥平面PBC．
给出以下四个命题中，真命题的个数为（　　）
①
∫
2
-2
[
4-x2
+lg（
1+x2
-x）]dx=2π；
②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到；
③函数y=
1
2
ln
1-cosx
1+cosx
与y=lntan
x
2
是同一函数；
④在△ABC中，若
AB
•
BC
3
=
BC
•
CA
2
=
CA
•
AB
1
，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．
A、1B、2C、3D、4
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，讨论函数f（x）的单调性．
已知f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0．
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（3）当x∈[1，4]，求f（x）的最大值，最小值．
已知f（x）=x2+bx+2．
（1）若f（x）在（-∞，1）上单调递减，求实数b的取值范围；
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（3）若函数g（x）的定义域为D，[p，q]⊆D，用分法T：p=x0＜x1＜x2＜…＜xn=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|g（x1）-g（x0）|+|g（x2）-g（x1）|+|g（x3）-g（x2）|+…+|g（xn）-g（xn-1）|≤M恒成立，则称函数g（x）在区间[p，q]上具有性质σ（M）．试判断当b=-2时，函数f（x）在[0，3]上是否具有性质σ（M）？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．
已知实数x，y满足
x≥0
y≥0
3x+y≥3
，则z=x+y的最小值等于（　　）
A、0B、1C、2D、3

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