Question

已知函数f（x）=

x3

3

+

x2

4

，g（n）=（

1

2

）ⁿ，（n∈N^*），若f′（x）≥g（n）当x∈（-∞，λ]时恒成立．
（Ⅰ）当n=1时，求不等式f′（x）≥g（n）的解集；
（Ⅱ）求实常数λ的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求出导数，运用二次不等式的解法，即可得到解集；
（Ⅱ）若f′（x）≥g（n）当x∈（-∞，λ]时恒成立，则x²+

1

2

x≥g（n）_max当x∈（-∞，λ]时恒成立．根据等比数列的单调性，即可得到最大值，再解不等式，由集合的包含关系，即可得到所求范围．

解答： 解：（Ⅰ）n=1时，g（1）=

1

2

，
f′（x）=x²+

1

2

x，
不等式f′（x）≥g（n）即为x²+

1

2

x≥

1

2

，
解得，x≥

1

2

或x≤-1．
则解集为{x|x≥

1

2

或x≤-1}；
（Ⅱ）若f′（x）≥g（n）当x∈（-∞，λ]时恒成立，
则x²+

1

2

x≥g（n）_max当x∈（-∞，λ]时恒成立．
而g（n）=（

1

2

）ⁿ，（n∈N^*）为递减数列，
则n=1时取得最大值

1

2

，
则x²+

1

2

x≥

1

2

当x∈（-∞，λ]时恒成立．
即有（-∞，λ]⊆（-∞，-1]，
解得，λ≤-1．
则实常数λ的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题考查导数的概念和运用，考查等比数列的单调性，考查二次不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为最值问题，考查运算能力，属于中档题．