Question

已知函数F（x）=Acos（ωx+φ）+B（ω＞0，A＞0，|φ|＜

π

2

），一部分图象如图，若f（x）=F（x-

π

6

）
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）当0＜x＜1时，求证f（x）＞1-2x²；
（Ⅲ）若g（x）=sinx，问是否存在实数a和正整数n，使φ（x）=ag（x）+f（x）在（0，nπ）内恰有2019个零点，若存在，求a，n值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由图可知，A=1，B=0，

T

4

=

π

3

-

π

12

，可解得T=π，ω=2，由（

π

12

，0）在F（x）=cos（2x+φ）上，而|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

3

，即可求得f（x）=F（x-

π

6

）=cos2x，
（Ⅱ）由0＜x＜1，要证f（x）＞1-2x²，设h（x）=1-2x²-f（x）=1-2x²-cos2x，可得h′（x）=-4x+2sin2x，h″（x）=-4+4cos2x＜0，由h′（x）＜h′（0）=0，可得h（x）＜h（0）=0，即有f（x）＞1-2x²．
（Ⅲ）由于φ（x）=asinx+cos2x=0（sinx≠0），?a=-

cos2x

sinx

记为

m（x），可得m（x）=

-cos2x

sinx

=2sinx-

1

sinx

，m′（x）=2cosx+

cosx

sin2x

=

cosx(2sin2x+1)

sin2x

，令m′（x）=0得x=

π

2

，

3π

2

，可得m（x）在（0，

π

2

）上单调递增，（

π

2

，π）与（π，

3π

2

）上单调递减，（

3π

2

，2π）上单调递增，分析可知a=±1时，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2019÷3=673，得n=673*2=1346，从而存在a=1，n=1346或a=-1，n=1346时，φ（x）有2019个零点．

解答： 解：（Ⅰ）由图可知，A=1，B=0，∵

T

4

=

π

3

-

π

12

，∴可解得T=π，ω=2，
∵（

π

12

，0）在F（x）=cos（2x+φ）上，
∴

π

6

+φ=π+

π

2

，k∈Z，可解得φ=kπ+

π

3

，k∈Z，
而|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

3

，即有F（x）=cos（2x+

π

3

）
∴f（x）=F（x-

π

6

）=cos2x，
（Ⅱ）∵0＜x＜1，要证f（x）＞1-2x²；
设h（x）=1-2x²-f（x）=1-2x²-cos2x，
∵h′（x）=-4x+2sin2x，h″（x）=-4+4cos2x＜0，
∴h′（x）＜h′（0）=0，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴f（x）＞1-2x²，
（Ⅲ）∵φ（x）=asinx+cos2x=0（∵sinx≠0），
?a=-

cos2x

sinx

记为

m（x），
∵m（x）=

-cos2x

sinx

=2sinx-

1

sinx

，
m′（x）=2cosx+

cosx

sin2x

=

cosx(2sin2x+1)

sin2x

，
令m′（x）=0得x=

π

2

，

3π

2

，
∴m（x）在（0，

π

2

）上单调递增，（

π

2

，π）与（π，

3π

2

）上单调递减，（

3π

2

，2π）上单调递增，
当a＞1或a＜-1时，m（x）=a在（0，2π）有2解；
当-1＜a＜1时，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有4解；
∴-1＜a＜1或a＞1，a＜-1时，方程在（0，nπ）上有偶数根，不符合，
则a=±1时，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2019÷3=673，所以n=673×2=1346，
∴存在a=1，n=1346或a=-1，n=1346时，φ（x）有2019个零点．

点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了转化思想，属于中档题．