Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=

π

4

，c=2，求△ABC的面积S_△ABC的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由二倍角公式化简可得f（x）=2sin（2x-

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，可得A的值，由正弦定理可解得a=

6

，从而可求S_△ABC的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2

3

sinxcosx-cos2x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∴令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
即有函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z，
（2）∵f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，
∴2A-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即有A=kπ+

π

3

，k∈Z，
∵角A为△ABC中的内角，有0＜A＜π，
∴k=0时，A=

π

3

，B=π-A-C=

5π

12

，
故由正弦定理可得：

2

2 2

=

a

3 2

，解得a=

6

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

6

sin

5π

12

=

3+ 3

2

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．