Question

已知向量

a

=（1，2sinθ），

b

=（sin（θ+

π

3

），1），θ∈R．
（1）若

a

⊥

b

，求tanθ的值；
（2）若

a

∥

b

，且θ∈（0，

π

2

），求θ的值．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由向量的垂直和平行的性质得到θ的三角函数式，然后化简解答．

解答： 解；（1）若

a

⊥

b

，则

a

•

b

=sin（θ+

π

3

）+2sinθ=0，所以5sinθ+

3

cosθ=0，所以tanθ=-

3

5

；
（2）若

a

∥

b

，且θ∈（0，

π

2

），则2sinθsin（θ+

π

3

）=1，整理得sin²θ+

3

sinθcosθ=1，所以

1-cos2θ

2

+

3

2

sin2θ=1，所以

3

2

sin2θ-

1

2

cos2θ=

1

2

，即sin（2θ-

π

6

）=

1

2

，θ∈（0，

π

2

），2θ-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），所以2θ-

π

6

=

π

6

，所以θ=

π

6

．

点评：本题考查了向量的垂直和平行的性质以及运用三角函数公式化简三角函数并求值．