Question

在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（1）求证：DE∥平面ACF；
（2）若AB=

2

CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出

EG

EO

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接OF，由中位线定理得到OF∥DE，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．作CG⊥OE于点G，再由线面垂直的判定和性质得到CG⊥平面BDE，由AB=

2

CE，推出CO=CE，从而得到G为EO的中点，故假设成立．

解答： （1）证明：连接OF，由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，
又F为BE的中点，
∴OF∥DE，
又OF?平面ACF，DE?平面ACF，
∴DE∥平面ACF；
（2）解：假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．
由于CG⊥平面BDE，则必有CG⊥DE，
于是作CG⊥OE于点G，
∵EC⊥底面ABCD，
∴CE⊥BD，又底面是正方形，∴BD⊥AC，EC∩AC=C
∴BD⊥平面ACE，而CG?平面ACE，∴BD⊥CG，
又OE∩BD=O，∴CG⊥平面BDE
又AB=

2

CE，∴CO=

2

2

AB=CE，
∴G为EO的中点，∴

EG

EO

=

1

2

．
故在线段EO上存在点G，且为中点，使CG⊥平面BDE．

点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定和性质，同时考查存在性问题的解法，属于中档题．