Question

已知直线l经过抛物线x²=4y的焦点，且与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：∠AOB为钝角．
（Ⅱ）若△AOB的面积为4，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设直线l的方程为：y=kx+1，联立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，设直线l与抛物线的交点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由x₁x₂+y₁y₂=-3＜0，证明∠AOB为钝角．
（Ⅱ） 由（I）知：|AB|=

(1+k2)[(4k)2-4×(-4)]

=4（k²+1），O到直线AB的距离d=

1

k2+1

，由此利用三角形的面积能求出直线方程．

解答： （I）证明：依题意设直线l的方程为：y=kx+1（k必存在），
联立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，
∵△=16k²+16＞0，
∴设直线l与抛物线的交点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x1x2=-4，y1y2=

x12

4

x22

4

=1，
∴x₁x₂+y₁y₂=-3＜0，
依向量的数量积定义，cos∠AOB＜0，
∴∠AOB为钝角．
（Ⅱ）解：由（I）知：|AB|=

(1+k2)[(4k)2-4×(-4)]

=4（k²+1），
O到直线AB的距离d=

1

k2+1

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=2

k2+1

=4，
解得k=±

3

，
∴直线方程为y=

3

x+1，y=-

3

x+1．

点评：本题考查角为钝角的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．