Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-mlnx（m∈R，且m为常数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）求导数可得f′（x）=x-

m

x

=

x2-m

x

，①若m≤0，则f′（x）＞0，易得单调递增；②若m＞0，由f′（x）=

x2-m

x

=0易得函数f（x）在区间（0，

m

）单调递减，在区间（

m

，+∞）单调递增；
（2）①若m≤1，函数f（x）在[1，e]上单调递增，函数的最小为f（1）；②若1＜m＜e²，函数f（x）在（1，

m

）上单调递减，在（

m

，e）上单调递增，函数的最小为f（

m

）；③若m≥e²，函数f（x）在[1，e]上单调递减，函数的最小为f（e）

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-mlnx，（x＞0），
∴f′（x）=x-

m

x

=

x2-m

x

，
①若m≤0，则f′（x）=

x2-m

x

＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；
②若m＞0，由f′（x）=

x2-m

x

=0可得x=

m

，
故当x∈（0，

m

）时，f′（x）＜0，当x∈（

m

，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）在区间（0，

m

）单调递减，在区间（

m

，+∞）单调递增；
（2）①若m≤1，则当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴函数的最小为f（1）=

1

2

；
②若1＜m＜e²，则当x∈（1，

m

）时，f′（x）＜0，当x∈（

m

，e）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，

m

）上单调递减，在（

m

，e）上单调递增，
∴函数的最小为f（

m

）=

m

2

-

m

2

lnm；
③若m≥e²，则当x∈[1，e]时，f′（x）≤0，函数f（x）在[1，e]上单调递减，∴函数的最小为f（e）=

e2

2

-m

点评：本题考查导数法研究函数闭区间上的单调性和最值，分类讨论是解决问题的关键，属中档题．