Question

已知函数f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），其中a，b∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式{a_n}在n上恒成立，求S_n的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义即可求得；
（2）利用判断函数的单调性，注意对a分类讨论；
（3）由题意得

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

即可得出结论．

解答： 解：（1）f′（x）=1-

a

x2

，由导数的几何意义得f′（2）=3，于是a=-8，
由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得-2+b=7，
解得b=9，所以函数f（x）的解析式为f（x）=x-

8

x

+9．-------（4分）
（2）f′（x）=1-

a

x2

，
当a₁=1时，显然f′（x）＞0（x≠0），这时f（x）在（-∞，0），{b_n}内是增函数；
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x+±

a

；
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞ a ）	- a	（- a ，0）	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）内是增函数，在（-

a

，0），（0，

a

）内是减函数．--------（9分）
（3）由（2）知，f（x）在b₁=1上的最大值为f（

1

4

）与f（1）中的较大者，
对于任意的R，不等式f（x），g（x）在h（x）=kx+b上恒成立，
当且仅当

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

即

b≤ 39 4 -4a b≤9-a

，
对任意的x∈R成立，从而得满足条件的b的取值范围是f（x）≥h（x）≥g（x）----（14分）

点评：本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，求函数最值等知识，考查学生的运算求解能力，属于难题．