Question

12．设抛物线Γ：x²=2py（p＞0）的准线被圆O：x²+y²=4所截得的弦长为$\sqrt{15}$
（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）设点F是抛物线Γ的焦点，N为抛物线Γ上的一动点，过N作抛物线Γ的切线交圆O于P、Q两点，求△FPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的准线方程，利用直线与圆的位置关系列出方程，求出P即可求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）设N（t，$\frac{{t}^{2}}{2}$），圆心O到直线PQ的距离为$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，求出点F到直线PQ的距离，表示出△FPQ面积，利用配方法，可求△FPQ面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）因为抛物线Γ的准线方程为：y=-$\frac{p}{2}$，
且直线被圆O：x²+y²=4所截得的弦长为$\sqrt{15}$，
所以$\sqrt{4-（\frac{p}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{15}$解得p=1，
因此抛物线Γ的方程为x²=2y…（4分）．
（Ⅱ）设N（t，$\frac{{t}^{2}}{2}$），由y′=x知直线PQ的方程为：y-$\frac{{t}^{2}}{2}$=t（x-t）．即y=tx-$\frac{{t}^{2}}{2}$．（6分）
因为圆心O到直线PQ的距离为$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，所以|PQ|=2$\sqrt{4-\frac{{t}^{4}}{4（1+{t}^{2}）}}$，（7分）
设点F到直线PQ的距离为d，则d=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{t}^{2}}$，（ 8分）
所以，△FPQ的面积S=$\frac{1}{2}$|PQ|d=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-{t}^{4}+16{t}^{2}+16}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-（{t}^{2}-8）^{2}+80}$≤$\sqrt{80}$=$\sqrt{5}$（11分）
当t=±2$\sqrt{2}$时取到“=”，经检验此时直线PQ与圆O相交，满足题意．
综上可知，△FPQ的面积的最大值为$\sqrt{5}$．（12分）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．