Question

4．已知函数f（x）=mx²-mx-1．
（1）若f（x）＜0的解集为（-1，2），求m的值；
（2）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＜0的解集为（-1，2），得到-1，2是方程mx²-mx-1=0的两个根，且m＞0，即可求出m的值．
（2）若f（x）＜0恒成立，则m=0或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△={m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．
（3）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，则m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）f（x）＜0的解集为（-1，2），
∴-1，2是方程mx²-mx-1=0的两个根，且m＞0，
∴-1×2=$\frac{1}{m}$，
解得m=$\frac{1}{2}$
（2）当m=0时，f（x）=-1＜0恒成立，
当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△={m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$
解得-4＜m＜0
综上所述m的取值范围为（-4，0]
（3）要x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，
即m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6，x∈[1，3]，
当m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）_max=g（3）=7m-6＜0，
解得m＜$\frac{6}{7}$．
所以0＜m＜$\frac{6}{7}$，当m=0时，-6＜0恒成立．
当m＜0时，g（x）是减函数．
所以g（x）_max=g（1）=m-6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
综上所述，m＜$\frac{6}{7}$

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．