Question

过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，那么“左特征点”M一定是（　　）

• A、椭圆左准线与x轴的交点
• B、坐标原点
• C、椭圆右准线与x轴的交点
• D、右焦点

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：新定义,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出点M（m，0）为椭圆的左特征点，根据椭圆左焦点，设出直线AB的方程代入椭圆方程，由∠AMB被x轴平分，得k_AM+k_BM=0，利用韦达定理，求出结论．

解答： 解：如图所示，设M（m，0）为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左特征点，椭圆的左焦点F（-c，0），
可设直线AB的方程为x=ky-c（k≠0）
代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，得：b²（ky-c）²+a²y²=a²b²，
即（a²+b²k²）y²-2kcb²y+b²c²-a²b²=0，
（a²+b²k²）y²-2kcb²y-b⁴=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得y₁+y₂=

2kcb2

a2+b2k2

，y₁y₂=-

b4

a2+b2k2

∵∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0，
即y₁（ky₂-c）+y₂（ky₁-c）-（y₁+y₂）m=0，
∴2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+c）=0，
∴2k•（-

b4

a2+b2k2

）-

2kcb2

a2+b2k2

•（m+c）=0
∵k≠0，∴b²+c（m+c）=0，
即m=-

b2

c

-c=-

a2

c

，
∴M（-

a2

c

，0）；
即点M是椭圆左准线与x轴的交点．
故选：A．

点评：本题考查了椭圆性质的应用问题以及直线与椭圆相交关系的处理问题，解题时应灵活设出直线AB的方程，以避免讨论直线的斜率是否存在，是中档题．