Question

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上（点E异于A、B两点），点F在DE上，且AF⊥DE，若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于π．
（1）求证：AF⊥BD；
（2）求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可证得线面垂直；
（2）点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．

解答： （1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．
∵EB?平面ABE，
∴DA⊥EB．
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，
故得EB⊥平面DAE．
∵AF?平面DAE，
∴EB⊥AF．
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，
故得AF⊥平面DEB．
∵DB?平面DEB，
∴AF⊥DB．
（2）∵平面ABCD⊥面ABE，
∴过E作EH⊥AB，
则EH⊥面ABCD，
即∠EDH为DE与平面ABCD所成角，
设圆柱的底半径为r，因为圆柱的轴截面ABCD是正方形，
△ABE的面积为S=

1

2

•AB•EH=r•EH．圆柱的底面积S=π•r²，
∵若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于π，
∴r•EH•π=π•r²，
解得EH=r，
∴点H为圆柱底面圆的圆心，
则tan∠EDH=

EH

DH

=

r

r2+4r2

=

1

5

=

5

5

，
即直线DE与平面ABCD所成角的正切值

5

5

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．要求熟练掌握相应的判定定理和线面角的求解方法．