Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且f（

A

2

-

π

12

）=

1

2

，cosB=

4

5

，求sinC的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数图象得到半周期，进一步求得周期，再利用周期公式求ω的值，再由f（

π

6

）=1结合φ的范围求得φ值，则函数解析式可求，再由函数图象得到函数的减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式结合f（

A

2

-

π

12

）=

1

2

求得A，由cosB=

4

5

求得sinB，利用sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）展开两角和的正弦求得sinC的值．

解答： 解：（Ⅰ）由图象可知

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，得T=π=

2π

ω

，
即ω=2．
当x=

π

6

时，f（x）=1，可得sin（2×

π

6

+φ）=1．
∵φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
故f(x)=sin(2x+

π

6

)．
由图象可得f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin[2(

A

2

-

π

12

)+

π

6

]=1，即sinA=

1

2

，
又角A为锐角，
∴A=

π

6

．
∵0＜B＜π，cosB=

4

5

，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
∴sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=

1

2

×

4

5

+

3

2

×

3

5

=

4+3 3

10

．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了已知三角函数值求角，训练了两角和的正弦公式，是中档题．