Question

在锐角△ABC中，cos2C=-

1

9

．
（1）求sinC的值；
（2）当a=3，3sinC=

6

sinA时，求b的值．

Answer 1

考点：正弦定理,二倍角的余弦

专题：解三角形

分析：（1）因为△ABC是锐角三角形，所以sinC＞0，利用二倍角公式直接求出sinC即可；
（2）根据正弦定理求出c，利用余弦定理建立方程cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

3

，解出b=1或b=3，验证后舍去b=1即可．

解答： 解：（1）∵△ABC是锐角三角形，
∴0＜C＜

π

2

，
∴sinC＞0
∵cos2C=1-2sin²C=-

1

9

，
∴sinC=

5

3

．
（2）由正弦定理知3sinC=

6

sinA可化为，
3c=

6

a，
∵a=3，
∴c=

6

，
∵cosC=

1-sin2C

=

2

3

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

3

，
即b²-4b+3=0，
解得b=1或b=3，
∵b=1时，b²+c²=7＜a²，与△ABC是锐角三角形矛盾，舍去．
∴b=3．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理的灵活应用，注意隐含三角形是锐角三角形的应用，属于中档题．