Question

4．设f（x）=2sin（180°-x）+cos（-x）-sin（450°-x）+cos（90°+x）．
（1）若f（α）=$\frac{2}{3}$•α∈（0°，180°），求tanα；
（2）若f（α）=2sinα-cosα+$\frac{3}{4}$，求sinα•cosα的值．

Answer 1

分析 （1）推导出f（x）=sinx，从而f（α）=sinα=$\frac{2}{3}$，由此能求出tanα．
（2）推导出sinα-cosα=-$\frac{3}{4}$，由此能求出sinαcosα．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（180°-x）+cos（-x）-sin（450°-x）+cos（90°+x）
=2sinx+cosx-cosx-sinx=sinx，
f（α）=$\frac{2}{3}$，α∈（0°，180°），
∴f（α）=sinα=$\frac{2}{3}$，∴cosα=±$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）∵f（α）=2sinα-cosα+$\frac{3}{4}$=sinα，
∴sinα-cosα=-$\frac{3}{4}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{9}{16}$，
解得sinαcosα=$\frac{7}{32}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意诱导公式、同角三角函数关系式的合理运用．