Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0
（1）求证：f（1）=0；
（2）求证：对任意的x∈R，都有f（

1

x

）=-f（x）；
（3）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0；
（2）令y=

1

x

（x≠0），由f（xy）=f（x）+f（y）及f（1）=0即可证得结论；
（3）任取x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，作差f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），易证＞f（

x1

x2

）＞0，从而可判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．

解答： 解：（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
（2）证明：令y=

1

x

（x≠0），
则f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=f（1）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x）；
（3）任取x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，
∴

-x1

-x2

=

x1

x2

＞1，
由题意，f（

x1

x2

）＞0，
又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（-∞，0）上是减函数．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法求值，考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．