Question

已知圆锥的底面半径为R，高为H，则圆锥内接圆柱体的体积最大值为（　　）

• A、

  5

  27

  πR²H
• B、

  4

  27

  πR²H
• C、

  2

  27

  πR²H
• D、

  1

  27

  πR²H

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题

分析：画出圆锥的轴截面，设圆锥内接圆柱体的底面圆的半径为r，高为h，利用比例关系求出h，列出圆锥内接圆柱体的体积关于r的函数，利用基本不等式求最大值．

解答： 解：如图是圆锥的轴截面：

设圆锥内接圆柱体的底面圆的半径为r，高为h，
则

H-h

H

=

r

R

⇒h=（1-

r

R

）H，
V_圆柱=πr²（1-

r

R

）H=π

R2

2

×

r

R

×

r

R

×(2-

2r

R

)H≤π×

R2

2

H×(

2

3

)3=

4

27

πR²H．
当r=

2

3

R时，取“=”．
故选B．

点评：本题考查了圆锥的内接圆柱的最大体积问题，解答的关键是利用比例关系构造以r为自变量的函数，利用基本不等式求最值．