Question

已知函数f（x）为偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，若f（2）=-1，则f（1）+f（2）+…+f（2013）等于（　　）

• A、-1
• B、0
• C、-1003
• D、1003

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性的性质推导出函数的周期性，利用函数的周期性进行求解即可．

解答： 解：∵将f（x）的图象向右平移一个单位得到f（x-1），得到一个奇函数，
∴f（-x-1）=-f（x-1），
∵f（x）为偶函数，
∴f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），
即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．
∵f（2）=-1，
∴f（0）=f（2）=f（4）=-1，
当x=-1时，f（-1+2）=-f（-1），
即f（1）=-f（1），∴f（1）=0，
∵f（3）=-f（1）=0，
∴f（1）=0，f（2）=-1，f（3）=0，f（4）=-1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2013）=f（2013）=f（1）=0，
故选：B．

点评：本题主要函数值的计算，利用函数奇偶性的性质求出函数的周期性是解决本题关键，考查学生的推理能力．