Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．
（1）求△ABP的面积；
（2）求弦AC的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）利用圆的切线的性质，结合切割线定理，求出PA，即可求△ABP的面积；
（2）由勾股定理得AE，由相交弦定理得EC，即可求弦AC的长．

解答： 解：（1）因为PA是⊙O的切线，切点为A，
所以∠PAE=∠ABC=45°，…（1分）
又PA=PE，所以∠PEA=45°，∠APE=90°…（2分）
因为PD=1，DB=8，所以由切割线定理有PA²=PD•PB=9，
所以EP=PA=3，…（4分）
所以△ABP的面积为

1

2

BP•PA=

27

2

 …（5分）
（2）在Rt△APE中，由勾股定理得AE=3

2

…（6分）
又ED=EP-PD=2，EB=DB-DE=8-2=6，
所以由相交弦定理得EC•EA=EB•ED=12 …（9分）
所以EC=

12

3 2

=2

2

，
故AC=5

2

…（10分）

点评：本题考查圆的切线的性质、切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．