Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PB=PC=AB，PB⊥平面PDC，E为棱PC的中点，F为AB中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）求二面角E-DB-A的大小．

Answer 1

分析 （1）取PD中点为G，连结GE，GA，只需证EF∥AG，即可得到EF∥面PAD．
（2）只需证明DC⊥平面PBC，即可得到平面PBC⊥平面ABCD 
（3）取BC中点F，易得OF⊥BC，分别以直线FB、OF、FP为x，y，z轴建立如图所示坐标系；利用向量法求解

解答 证明（1）取PD中点为G，连结GE，GA，∵E是PC中点．
∴EG∥DC，且EG=$\frac{1}{2}DC$，又F是AB的中点，四边形ABCD为矩形，
∴AF∥DC，AF=$\frac{1}{2}DC$．，AF∥FG，且AF=EG，∴四边形ABCD为平行四边形，∴EF∥AG，
∵AG?面PAD，EF?面PAD，∴EF∥面PAD．
（2）证明：∵PB⊥平面PDC    DC?平面PDC∴PB⊥DC
又∵四边形ABCD为矩形∴BC⊥DC     PB∩BC=B∴DC⊥平面PBC   DC?平面ABCD
∴平面PBC⊥平面ABCD    …（6分）
（3）取BC中点F，∵PB=PC∴PF⊥BC   又∵平面PBC⊥平面ABCD∴PF⊥平面ABCD
∵O为中点，F为中点，∴OF⊥BC
分别以直线FB、OF、FP为x，y，z轴建立如图所示坐标系；
设 PB=PC=AB=a∵PB⊥平面PDC∴PB⊥PC∴△BPC等腰直角三角形
∴BC=$\sqrt{2}$a∴A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-a，0），B（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0），C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-a，0），
P（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），E（-$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$a）…（8分）
∴$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{2}$a，a，0），$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$a，0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$a），$\overrightarrow{AB}$=（0，a，0）
设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n1}$=（x，y，z），则：
$\b\lc\{（\a\al（\root{\sqrt{（\;\;\;\;）}{\frac{3\sqrt{2}}{4}ax-\frac{\sqrt{2}}{4}az=0}}$，解得：$\overrightarrow{n1}$=（-1，$\sqrt{2}$，-3）
∵PF⊥平面ABCD，∴平面ABD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，0，1）…（10分）
cos＜$\overrightarrow{n1}$，$\overrightarrow{n2}$＞=$\frac{\overrightarrow{n1}•\overrightarrow{n2}}{|\overrightarrow{n1}|•|\overrightarrow{n2}|}$=$\frac{-3}{2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$∴＜$\overrightarrow{n1}$，$\overrightarrow{n2}$＞=$\frac{5}{6}$π
由题意可知，二面角E-DB-A为钝二面角
∴二面角E-DB-A的大小为$\frac{5}{6}$π…（12分）

点评 本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．