Question

3．如图，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$═1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A，B，两直线MA，MB分别与C₁相交于点D，E．
①曲线C₁，C₂的方程分别为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，y=x²-1；
②MD⊥ME；
③记△MAB，△MDE的面积分别为S₁，S₂，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值为$\frac{25}{64}$；
④记△MAB，△MDE的面积分别为S₁，S₂，当$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{17}{32}$时，直线l的方程为：y=$\frac{3}{2}$x或y=-$\frac{3}{2}$x．
以上列说法正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，可解得a=2b．在y=x²-b中，令y=0，可得2$\sqrt{b}$=a．联立解出即可得出．
②由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得x²-kx-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把根与系数的关系代入$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=0，可得MA⊥MB，即可判断出结论．
③设直线MA的斜率为k，则直线MA的方程为y=kx-1．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得点A的坐标为（k，k²-1）．又直线MB的斜率为-$\frac{1}{k}$，同理可得点B的坐标为$（-\frac{1}{k}，\frac{1}{{k}^{2}}-1）$，于是S₁=$\frac{1}{2}$|MA|•|MB|=$\frac{1+{k}^{2}}{2|k|}$．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k₁²）x²-8k₁x=0．可得点D的坐标为$（\frac{8k}{1+4{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}）$．同理可得点E的坐标为$（\frac{-8k}{4+{k}^{2}}，\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}）$．于是S₂=$\frac{1}{2}$|MD|•|ME|．故$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{64}$$（4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+17）$．利用基本不等式的性质即可判断出结论．
④由③令$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{64}$$（4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+17）$=$\frac{17}{32}$，解得k²，可得k_l=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$，即可得出．

解答 解：①∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，可解得a=2b．在y=x²-b中，令y=0，得x=$±\sqrt{b}$，∴2$\sqrt{b}$=a．
联立解得a=2，b=1．∴曲线C₁，C₂的方程分别为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，y=x²-1．
②由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得x²-kx-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．
∵M（0，-1），∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=x₁x₂+y₁y₂+y₁+y₂+1=-1-k²+k²+1=0，
∴MA⊥MB，∴MD⊥ME．
③设直线MA的斜率为k，则直线MA的方程为y=kx-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{y={k}^{2}-1}\end{array}\right.$．则点A的坐标为（k，k²-1）．
又直线MB的斜率为-$\frac{1}{k}$，同理可得点B的坐标为$（-\frac{1}{k}，\frac{1}{{k}^{2}}-1）$，
于是S₁=$\frac{1}{2}$|MA|•|MB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k}^{2}+{k}^{4}}$•$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+\frac{1}{{k}^{4}}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{2|k|}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k₁²）x²-8k₁x=0．
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8k}{1+4{k}^{2}}}\\{y=\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，则点D的坐标为$（\frac{8k}{1+4{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}）$．
又直线ME的斜率为-$\frac{1}{k}$．同理可得点E的坐标为$（\frac{-8k}{4+{k}^{2}}，\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}）$．
于是S₂=$\frac{1}{2}$|MD|•|ME|=$\frac{32（1+{k}^{2}）|k|}{（1+4{k}^{2}）（4+{k}^{2}）}$．故$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{64}$$（4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+17）$≥$\frac{2\sqrt{4{k}^{2}×\frac{4}{{k}^{2}}}+17}{64}$=$\frac{25}{64}$，
当且仅当k²=1时取等号，因此不正确．
④由③令$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{64}$$（4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+17）$=$\frac{17}{32}$，解得k²=4或$\frac{1}{4}$，
∴k_l=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$=$±\frac{3}{2}$．∴直线l的方程为：y=$\frac{3}{2}$x或y=-$\frac{3}{2}$x．正确．
综上可得：只有①②④正确．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程、直线与椭圆抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．