Question

8．已知函数f（x）=x²e^-x，当曲线y=f（x）的切线斜率为负数时，求切线在x轴上截距的取值范围（-∞，0）∪[2$\sqrt{2}$+3，+∞）．

Answer 1

分析 利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．

解答 解：设切点为（x₀，${{x}_{0}}^{2}{e}^{-{x}_{0}}$），
则切线方程为y-${{x}_{0}}^{2}{e}^{-{x}_{0}}$=${e}^{-{x}_{0}}$（$2{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}$）（x-x₀），
令y=0，解得x=（x₀-2）+$\frac{2}{{x}_{0}-2}$+3，
∵曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，
∴${e}^{-{x}_{0}}$（$2{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}$）＜0，
∴x₀＜0或x₀＞2，
令f（x₀）=（x₀-2）+$\frac{2}{{x}_{0}-2}$+3，
则f′（x₀）=$\frac{（{{x}_{0}}^{2}-2）^{2}-2}{（{{x}_{0}}^{2}-2）^{2}}$．
①当x₀＜0时，$（{x}_{0}-2）^{2}-2$＞0，即f′（x₀）＞0，
∴f（x₀）在（-∞，0）上单调递增，∴f（x₀）＜f（0）=0；
②当x₀＞2时，令f′（x₀）=0，解得x₀=2+$\sqrt{2}$．
当x₀＞2+$\sqrt{2}$时，f′（x₀）＞0，函数f（x₀）单调递增；
当2＜x₀＜2+$\sqrt{2}$时，f′（x₀）＜0，函数f（x₀）单调递减．
故当x₀=2+$\sqrt{2}$时，函数f（x₀）取得极小值，也即最小值，且f（2+$\sqrt{2}$）=2 $\sqrt{2}$+3．
综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（-∞，0）∪[2 $\sqrt{2}$+3，+∞）．
故答案为（-∞，0）∪[2 $\sqrt{2}$+3，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．