Question

13．若定义在[-2010，2010]上的函数f（x）满足：对任意x₁，x₂∈[-2010，2010]，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2009，且x＞0时，有f（x）＞2009，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N=4018．

Answer 1

分析 利用恒等式和赋值法求f（0）的值，令x₁=x，x₂=-x代入恒等式化简后，由函数奇偶性的定义构造F（x）=f（x）-2009，并判断为奇函数，由恒等式、条件和函数的单调性判断出f（x）的单调性，可求出答案．

解答 解：∵对任意x₁，x₂∈[-2010，2010]，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2009，
∴令x₁=x₂=0，则f（0）=2009，令x₁=x，x₂=-x，
则f（0）=f（x）+f（-x）-2009，得2009=f（x）+f（-x）-2009，
即f（x）+f（-x）=2×2009，且f（-x）-2009=-[f（x）-2009]，
∴F（x）=f（x）-2009为奇函数，即f（x）关于点（0，2009）对称；
∵-2010≤x₁＜x₂≤2010，不妨设x₂=x₁+h（h＞0），则f（h）＞2009，
∴f（x₂）=f（x₁）+f（h）-2009＞f（x₁），
∴f（x）在[-2010，2010]上是单调递增函数，
∴M+N=f（2009）+f（-2009）=2×2009=4018，
故答案为：4018．

点评 本题考查抽象函数的函数值、奇偶性、单调性问题，以及赋值法、等价转化的思想，构造法的应用，根据恒等式、函数的奇偶性、单调性进行正确赋值是解决本题的关键，属于难题．