Question

15．解关于x的不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0．

Answer 1

分析 分类讨论二次项的系数a³与0的关系，利用二次函数的性质，求得不等式的解集．

解答 解：对于不等式a³x²-（a²+a）x+1=（ax-1）•（a²x-1）＞0，
（1）当a=0时，不等式即1＞0，恒成立，此时，不等式的解集为R．
（2）当a＞0时，
若a=1，不等式即 x²-2x+1＞0，∴x≠1，即不等式的解集为{x|x≠1}．
若0＜a＜1，则$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0的解集为 {x|x＜$\frac{1}{a}$，或 x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$}．
若a＞1，则$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{{a}^{2}}$，不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0的解集为{x|x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，或 x＞$\frac{1}{a}$}．
②当a＜0时，则$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0的解集为 {x|$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$ }．
综上可得，当a=0时，不等式的解集为R；
当a=1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$，或 x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$}；
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞$\frac{1}{a}$，或 x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$}；
当a＜0时，不等式的解集为 {x|$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$ }．

点评 本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．