Question

7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若c=2，b=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可得sinA=2sinAcosB．结合sinA≠0．可求cosB，利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理得a²-2a-5=0，解得a的值，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）•cosB=2sinAcosB-sinCcosB．…（2分）
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．…（4分）
sin（B+C）=2sinAcosB，
故sinA=2sinAcosB．
因为，在△ABC中，sinA≠0．
所以$cosB=\frac{1}{2}$，$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）由已知及余弦定理得9=4+a²-4acosB，
又$B=\frac{π}{3}$，
所以：a²-2a-5=0，解得：a=1+$\sqrt{6}$，或a=1-$\sqrt{6}$（舍去），
所以：S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×$（1+$\sqrt{6}$）×$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．