Question

17．已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，若对于任意的实数a、b都满足f（ab）=af（b）+bf（a），则函数f（x）（　　）

• A． 是奇函数
• B． 是偶函数
• C． 既是奇函数又是偶函数
• D． 既不是奇函数又不是偶函数

Answer 1

分析 由题意可得给a，b赋值，即令a=b=1，可得f（1）=0，再令a=b=-1，可得f（-1）=0，令a=x，b=-1，即可得到答案．

解答 解：由题意可得：令a=b=1，则有f（1）=2f（1），
所以f（1）=0，
再令a=b=-1，则有f（1）=-2f（-1），
所以f（-1）=0，
若令a=x，b=-1，
所以有f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），即f（-x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
故选：A．

点评 本题考查了函数奇偶性的定义，即f（-x）与f（x）的关系，而研究抽象函数的奇偶性一般运用的方法是赋值法，此题是个基础题．