Question

5．过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（　　）

• A． 有且仅有一条
• B． 有且仅有两条
• C． 有无穷多条
• D． 不存在

Answer 1

分析 过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，求得横坐标之和等于2，不符合题意；进而设直线AB为y=k（x-1）与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和，进而求得k．得出结论．

解答 解：过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．
故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1）
代入抛物线y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∵A、B两点的横坐标之和等于3，
∴$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$=3，解得：k²=4．
则这样的直线有且仅有两条，
故选：B．

点评 本题主要考查了抛物线的应用．解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏．