Question

6．若以3，4，x为三边组成一个锐角三角形．则x的取值范围为（$\sqrt{7}$，5）．若以3，4，x为三边组成一个钝角三角形．则x的取值范围为（5，7）或（1，$\sqrt{7}$）．

Answer 1

分析 第一问，利用余弦定理求出角的余弦值，令余弦值大于零即可；第二问，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再由三角形是钝角可求得x的最小值即可解题．

解答 解：若以3，4，x为三边组成一个锐角三角形，
设三角形长为3，4，x的边所对的角分别为A，B，C，显然A＜B．
由余弦定理得cosB=$\frac{9+{x}^{2}-16}{6x}$，cosC=$\frac{9+16-{x}^{2}}{24}$，
∵△ABC是锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{9+{x}^{2}-16＞0}\\{9+16-{x}^{2}＞0}\end{array}\right.}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解得$\sqrt{7}$＜x＜5，
若以3，4，x为三边组成一个钝角三角形，x为最大边，则cosC=$\frac{9+16-{x}^{2}}{24}$＜0，解得：x＞5，
由于三角形第三边小于其余两边和，可得：x＜7，可得：x∈（5，7）．
如4为最大边，可得：cosB=$\frac{9+{x}^{2}-16}{6x}$＜0，可得：x＜$\sqrt{7}$，
又由三角形第三边小于其余两边和，可得：x+3＞4，可得：x∈（1，$\sqrt{7}$），
故答案为：（$\sqrt{7}$，5）．（5，7）或（1，$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查了余弦定理，勾股定理的运用，考查了三角形三边关系，本题中根据勾股定理求x＞5是解题的关键，考查了转化思想，属于中档题．