Question

7．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²．
（1）求x＜0时f（x）的解析式；
（2）问是否存在正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]？若存在，求出所有的a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意，函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，x≥0时，f（x）=2x-x²，要求x＜0时，f（x）的解析式，可选取x＜0，得到-x＞0，代入x≥0时时的解析式，得到f（-x），再由f（-x）=-f（x），两者联立，即可求得x＜0时，f（x）的解析式，
（2）由题意，x＞0时，g（x）=-x²+2x，分类讨论，结合g（x）的值域为[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，即可得出结论．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=2x-x²，∴f（-x）=-2x-x²，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=x²+2x，
∴当x＜0时，f（x）=x²+2x．
（2）由题得，g（x）=-x²+2x，
当0＜a＜b＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{g（a）=\frac{a}{2}}\\{g（b）=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$，解得a=b=$\frac{3}{2}$，不合题意，舍去；
当0＜a＜1≤b时，g（x）的最大值为g（1）=1=$\frac{b}{2}$，∴b=2，
又g（b）=g（2）=0∉[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，
∴b=2不合题意，舍去；
当1≤a＜b时，$\left\{\begin{array}{l}{g（a）=\frac{b}{2}}\\{g（b）=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，无解，舍去．
综上，不存在正数a，b的值满足题意．

点评 本题考查函数最值的应用，解题的关键是理解题意，判断函数的性质，确定函数的最值，再利用函数的最值建立方程求出参数的值，利用最值建立方程是最值的一个非常重要的应用，本题第一小题求利用奇函数的性质求对称区间上的解析式，是奇函数性质的重要运用，注意总结此题的解法步骤