Question

19．若不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）≥m，对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [3，+∞）
• B． [6，+∞）
• C． （-∞，9]
• D． （-∞，12]

Answer 1

分析 利用基本不等式，求出（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）的最小值，即可得出m的取值范围．

解答 解：∵x，y均为正实数，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=1+4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=5+2×2=9，
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{4x}{y}$，即y=2x时取等号，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）的最小值为9；
又不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）≥m对任意正实数x，y恒成立，
∴m≤9，
即m的取值范围是（-∞，9]．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的应用问题，注意等号成立的条件是解题的关键，属中档题．