Question

10．如图，三四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=$\sqrt{2}$，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2．
（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（2）线段AD上是否存在Q，使得它到平面PCD的距离为$\frac{3}{2}$？若存在，求出$\frac{AQ}{QD}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，连接PO，BO，证明OBCD是平行四边形，可得OB∥DC，在证明PO⊥平面ABCD，∠POB是异面直线PB与CD所成的角，利用Rt△POA即可求解．
（2）假设存在点Q，使得它到平面的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．设QD=x，则${S_{△DQC}}=\frac{1}{2}x$，利用V_P-DQC=V_Q-PCD
求解x的值，即可得到$\frac{AQ}{QD}$的值．

解答 解：（1）设O为AD中点，连接PO，BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，
∴四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC，
在△PAD中PA=PD，O为AD中点，
∴PO⊥AD．侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，
故PO⊥OB，∠POB为锐角，所以∠POB是异面直线PB与CD所成的角．
∵AD=2AB=2BC=2，在RtAOB中，AB=1，AO=1，
∴$OB=\sqrt{2}$，
在Rt△POA中，∵$AP=\sqrt{2}，AO=1$，∴OP=1，
在Rt△PBO中，$PB=\sqrt{3}$，所以$cos∠PBO=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴异面直线PB与CD所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（2）假设存在点Q，使得它到平面的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
设QD=x，则${S_{△DQC}}=\frac{1}{2}x$，由（1）得$CD=OB=\sqrt{2}$，
在Rt_△POC中，$PC=\sqrt{2}$，
∴$PC=CD=DP，{S_{△PCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{（{\sqrt{2}}）^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由V_P-DQC=V_Q-PCD
解得：$x=\frac{3}{2}$，
∴存在点Q满足题意，
此时$\frac{AQ}{QD}=\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了异面直线所成角的证明与计算，同时考查了体积关系的换算来求解距离问题．属于中档题．