Question

18．若过点p（1，$\sqrt{3}$）作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A、B两点，则|AB|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意画出相应的图形，由圆的方程找出圆心坐标和半径r，确定出|OA|与|OB|的长，由切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，且切线长相等，由P与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OP|的长，在直角三角形AOP中，利用勾股定理求出|AP|的长，同时得到∠APO=30°，确定出三角形APB为等边三角形，由等边三角形的边长相等得到|AB|=|OP|，可得出|AB|的长．

解答 解：由圆的方程x²+y²=1，得到圆心O（0，0），半径r=1，
∴|OA|=|OB|=1，
∵PA、PB分别为圆的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，|PA|=|PB|，OP为∠APB的平分线，
∵P（1，$\sqrt{3}$），O（0，0），
∴|OP|=2，
在Rt△AOP中，根据勾股定理得：|AP|=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∵|OA|=$\frac{1}{2}$|OP|，∴∠APO=30°，
∴∠APB=60°，
∴△PAB为等边三角形，
则|AB|=|AP|=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系确定，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径）．