Question

15．数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，并且$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}（n≥2）$．则a₁₀+a₁₁=（　　）

• A． $\frac{19}{2}$
• B． $\frac{21}{2}$
• C． $\frac{21}{55}$
• D． $\frac{23}{66}$

Answer 1

分析 由已知数列递推式可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，求出等差数列的通项公式，得到a_n，则答案可求．

解答 解：由$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}（n≥2）$，得$\frac{1}{{a}_{n-1}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，
又a₁=2，a₂=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公差为d=$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{n}$．
则a₁₀+a₁₁=$\frac{2}{10}+\frac{2}{11}=\frac{21}{55}$．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．