Question

若△ABC中，已知∠A：∠B=1：3，∠C的角平分线平分三角形面积为5：2，则sinA=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：根据正弦定理求出

a

b

，根据面积公式和角平分线的定义，结合条件得到

b

a

=

5

2

，运用sin3A的公式化简即可得sinA的值．

解答： 解：∵在△ABC中，

a

sinA

=

b

sinB

，又B=3A，
∴

a

b

=

sinA

sinB

=

sinA

sin3A

，
又∠C的角平分线CD平分三角形面积为5：2，
∴

1

2

b•CD•sin∠ACD：

1

2

a•CD•sin∠BCD=5：2，
即

b

a

=

5

2

，
∴

sin3A

sinA

=

5

2

，
∵sin3A=sin（A+2A）=sinAcos2A+cosAsin2A
=sinA（1-2sin²A）+2sinAcos²A=3sinA-4sin³A，
∴3-4sin²A=

5

2

，即sin²A=

1

8

，
∴sinA=

2

4

．
故答案为：

2

4

．

点评：本题主要考查正弦定理及其应用，三角形的面积公式，以及三角公式的恒等变换，是一道中档题．