Question

已知命题p：对任意x∈R，不等式2^x+|2^x-2|＞a²-a恒成立；命题q：关于x的方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实数根．若“（￢p）∨q”为真命题，“（￢p）∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：令f（x）=2^x+|2^x-2|，则f(x)=

2，x≤1 2x+1-2，x＞1

．利用函数的单调性可得f（x）有最小值2．若命题p为真命题，则a²-a＜2，解得a．若命题q为真命题，则△=4a²-4＞0．由于“（￢p）V q”为真命题，“（￢p）∧q”为假命题，可得￢p与q一真一假．

解答： 解：令f（x）=2^x+|2^x-2|，则f(x)=

2，x≤1 2x+1-2，x＞1

．
∵y=2^x+1-2是增函数，∴f（x）有最小值2，
若命题p为真命题，则a²-a＜2，-1＜a＜2．
若命题q为真命题，则△=4a²-4＞0，a＜-1或a＞1．
∵“（￢p）V q”为真命题，“（￢p）∧q”为假命题，
∴￢p与q一真一假．
若p真，则q真，此时1＜a＜2；
若p假，则q假，此时

a≤-1或a≥2 -1≤a≤1

，解得a=-1．
故a的取值范围是{-1}∪（1，2）．

点评：本题考查了指数函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．