题目内容
山区一林场2013年底的木材存量为30万立方米，森林以每年20%的增长率生长．从今年起每年年底要砍伐1万立方米的木材，设从今年起的第n年底的木材存量为an万立方米．
（Ⅰ）试写出an+1与an的关系式，并证明数列{an-5}是等比数列；
（Ⅱ）问大约经过多少年，林场的木材总存量达到125万立方米？（参考数据：lg2=0.30，lg3=0.48）
（Ⅰ）试写出an+1与an的关系式，并证明数列{an-5}是等比数列；
（Ⅱ）问大约经过多少年，林场的木材总存量达到125万立方米？（参考数据：lg2=0.30，lg3=0.48）
考点：数列的应用
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）由题得an+1=an×（1+20%）-1，由此能数列{an-5}是公比为
的等比数列，由此能写出an+1与an的关系式，并证明数列{an-5}是等比数列．
（Ⅱ）由a1-5=30×（1+20%）-1-5=30，得an=30(
)n-1+5，由此能求出大约经过9年，林场的木材总存量达到125万立方米．
| 6 |
| 5 |
（Ⅱ）由a1-5=30×（1+20%）-1-5=30，得an=30(
| 6 |
| 5 |
解答：
解：（Ⅰ）由题得an+1=an×（1+20%）-1
即an+1=
an-1…2分
所以
=
=
因此数列{an-5}是公比为
的等比数列 …6分
（Ⅱ）由题a1-5=30×（1+20%）-1-5=30
所以an-5=30(
)n-1，即an=30(
)n-1+5…8分
所以an=30(
)n-1+5≥125，即(
)n-1≥4(n-1)lg
≥lg4
所以n＞
+1=8.5
所以，大约经过9年，林场的木材总存量达到125万立方米．…12分．
即an+1=
| 6 |
| 5 |
所以
| an+1-5 |
| an-5 |
| ||
| an-5 |
| 6 |
| 5 |
因此数列{an-5}是公比为
| 6 |
| 5 |
（Ⅱ）由题a1-5=30×（1+20%）-1-5=30
所以an-5=30(
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
所以an=30(
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
所以n＞
| 2lg2 |
| 2lg2+lg3-1 |
所以，大约经过9年，林场的木材总存量达到125万立方米．…12分．
点评：本题考查数列知识在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要注意等比数列性质的合理运用．
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