Question

已知向量

a

=(2

3

sinωx，cos2ωx)，

b

=(cosωx，-1)(ω＞0)，函数f（x）=

a

•

b

，且其图象的两条相邻对称轴之间的距离是

π

4

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数f（x）图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求y=g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标公式及二倍角的正弦公式，再由周期公式，即可得到；
（Ⅱ）由图象的伸缩变换，得到函数g（x）的解析式，再运用正弦函数的单调性和值域，即可得到最值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得，f(x)=

a

•

b

=2

3

sinωxcosωx-cos2ωx
=

3

sin2ωx-cos2ωx=2sin(2ωx-

π

6

)，
又f（x）的周期T=

π

4

×2=

π

2

，
所以

2π

2ω

=

π

2

，即ω=2；
（Ⅱ） 由（Ⅰ） 得f(x)=2sin(4x-

π

6

)，
又由题意得g(x)=2sin(2x-

π

6

)，
因为x∈[0，

π

2

]，所以2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
则当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，g（x）_min=-1，
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，g（x）_max=2．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的二倍角公式和两角差的正弦公式，以及周期公式，考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．